Volumes, áreas e perímetros · Prismas, pirâmides, cilindro, cone e esfera · Proposições, tabelas verdade e diagramas
Ao terminar este capítulo, você vai conseguir calcular áreas, perímetros e volumes de sólidos comuns e resolver questões de lógica com proposições, operadores, negações, equivalências e diagramas.
Perímetro mede contorno. Área mede superfície. Volume mede espaço ocupado. Em bordo, essa diferença aparece o tempo todo: o contorno de uma tampa, a área de uma chapa e o volume de um tanque são grandezas diferentes.
| Sólido | Volume | Observação |
|---|---|---|
| Prisma | V = área da base × altura | Inclui paralelepípedo e prisma de base triangular. |
| Pirâmide | V = área da base × altura / 3 | Tem uma base e faces laterais triangulares. |
| Cilindro | V = πr²h | Base circular e altura constante. |
| Cone | V = πr²h / 3 | Base circular e um vértice. |
| Esfera | V = 4πr³ / 3 | Todos os pontos da superfície ficam à mesma distância do centro. |
Proposição é uma frase que pode ser verdadeira ou falsa. “O navio está atracado” é proposição. “Feche a escotilha” não é proposição, porque é ordem, não afirmação.
| Operador | Símbolo | Quando é verdadeiro |
|---|---|---|
| Negação | não p | Quando p é falso. |
| Conjunção | p e q | Quando p e q são verdadeiros. |
| Disjunção | p ou q | Quando pelo menos uma é verdadeira. |
| Condicional | se p, então q | Só é falsa quando p é verdadeiro e q é falso. |
| Bicondicional | p se, e somente se, q | Quando p e q têm o mesmo valor lógico. |
Tabela verdade lista todas as possibilidades de verdadeiro e falso. Se uma proposição composta dá verdadeiro em todas as linhas, é tautologia. Se dá falso em todas, é contradição. Se às vezes é verdadeira e às vezes é falsa, é contingência.
Negar uma frase não é escrever qualquer frase contrária. A negação precisa inverter exatamente o valor lógico. A negação de “todos passaram” é “pelo menos um não passou”. A negação de “algum passou” é “nenhum passou”.
| Forma | Negação correta |
|---|---|
| p e q | não p ou não q |
| p ou q | não p e não q |
| se p, então q | p e não q |
| Todo A é B | Algum A não é B |
| Algum A é B | Nenhum A é B |
As duas primeiras linhas são a Lei de Morgan. Ela troca “e” por “ou” e nega as partes.
Na lógica da argumentação, uma conclusão só é válida quando decorre das premissas. Não importa se a frase parece bonita; importa se a conclusão é obrigatória.
Diagramas ajudam a visualizar conjuntos. No Diagrama de Venn, regiões sobrepostas indicam elementos que pertencem a mais de um conjunto. Em questões com três grupos, cuidado para não contar duas vezes quem está no centro.
Quantificador é palavra que indica quantidade lógica: todo, nenhum, algum, pelo menos um. Em prova, eles são fonte de pegadinha porque a negação muda a quantidade. “Todo marítimo estudou” cai com um único contraexemplo: basta existir um marítimo que não estudou.
Enunciado: A opção que é considerada um exemplo de tautologia é:
Alternativas: A) Se Eliane é magra, então Eliane é magra ou Cristina é baixa. B) Se Eliane é magra, então Eliane é magra e Cristina é baixa. C) Se Eliane é magra ou Cristina é baixa, então Cristina é baixa. D) Se Eliane é magra ou Cristina é baixa, então Eliane é magra e Cristina é baixa. E) Se Eliane é magra ou não é magra, então Cristina é baixa.
p = “Eliane é magra”. q = “Cristina é baixa”. A alternativa A vira p → (p ou q).
Se p é verdadeiro, então “p ou q” também é verdadeiro. A condicional fica verdadeira.
Em lógica, uma condicional com antecedente falso não fica falsa. Portanto, p → (p ou q) também é verdadeira.
Na condicional “se p, então q”, o único caso falso é p verdadeiro e q falso. Muita gente tenta julgar pelo português do dia a dia e erra a tabela verdade.
Em Diagrama de Venn com três conjuntos, se os números das interseções incluem quem está nos três grupos, subtraia a região central ao montar as partes exclusivas das interseções.
Transparência sobre a fonte: as questões abaixo foram extraídas de provas anteriores do banco NavegaGuia, com prova e número indicados. Quando o gabarito oficial não consta no JSON de origem, a resposta é apresentada como resolução comentada da equipe NavegaGuia, não como gabarito oficial da banca.
Foram descartadas questões com alternativas vazias, figura ausente ou tema fora do programa oficial de ELT/CDM.
Enunciado: O tanque de lastro de um navio mercante, que tem como objetivo fim a estabilidade do navio, é alimentado por uma bomba de sucção com vazão de 100 litros de água por segundo. Qual o volume de água que a bomba despeja no tanque de lastro após 5 minutos de funcionamento?
Alternativas: A) 60 m³. B) 45 m³. C) 15 m³. D) 30 m³. E) 5 m³.
Enunciado: Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 12 cm de raio e ângulo central de 120°. Então, a altura do cone é:
Alternativas: A) 2√2. B) 4√2. C) 6√2. D) 8√2. E) 12√2.
Enunciado: Um navio precisa carregar caixas cúbicas em seu convés. Se a área da base de uma dessas caixas é de 2.500 dm², qual é o perímetro da base da caixa?
Alternativas: A) 16 metros. B) 20 metros. C) 24 metros. D) 28 metros. E) 32 metros.
Enunciado: No Centro de Instrução Almirante Graça Aranha, há 180 alunos do primeiro ano, sabe-se que todos os alunos do primeiro ano leem pelo menos um livro. Foi feita uma pesquisa pelo Departamento Pedagógico e foi apurado que: 50 alunos leem somente o livro A. 30 alunos leem somente o livro B. 40 alunos leem somente o livro C. 25 alunos leem os livros A e C. 40 alunos leem os livros A e B. 25 alunos leem os livros B e C. Logo, a quantidade de alunos que leem os livros A, B e C é:
Alternativas: A) 40. B) 30. C) 25. D) 20. E) 15.
Enunciado: Uma empresa de navegação disponibilizou os cursos de “Cuidados Médicos” e “Segurança de Embarcações de Passageiros” para capacitação de seus 100 empregados. Desse total, 70 fizeram o curso de “Cuidados Médicos” e 22 fizeram os dois cursos. O número de empregados que foram capacitados apenas no curso de “Segurança de Embarcações de Passageiros” é:
Alternativas: A) 78. B) 52. C) 48. D) 36. E) 30.
Este capítulo fecha a apostila com dois blocos fortes: medidas de sólidos e lógica. Em geometria, confira unidade e fórmula; em lógica, traduza a frase para símbolos ou conjuntos antes de julgar pelo “sentido comum”.