Círculo trigonométrico · Seno, cosseno e tangente · Lei dos Senos e dos Cossenos
Ao terminar este capítulo, você vai conseguir usar seno, cosseno e tangente em triângulos, ler valores básicos no círculo trigonométrico e aplicar as leis dos senos e dos cossenos quando o triângulo não for retângulo.
Trigonometria aparece quando há ângulo e distância. Em um triângulo retângulo, escolha um ângulo agudo e nomeie os lados em relação a ele: cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa.
| Razão | Fórmula | Leitura |
|---|---|---|
| Seno | sen θ = cateto oposto / hipotenusa | Ajuda a achar altura ou lado oposto ao ângulo. |
| Cosseno | cos θ = cateto adjacente / hipotenusa | Ajuda a achar distância horizontal ou lado encostado no ângulo. |
| Tangente | tg θ = cateto oposto / cateto adjacente | Ajuda quando não aparece a hipotenusa. |
No círculo trigonométrico, o raio vale 1. O cosseno é a coordenada horizontal; o seno é a coordenada vertical. Por isso, seno e cosseno nunca passam de 1 nem ficam menores que -1.
Os sinais mudam por quadrante: no 1º quadrante, seno e cosseno são positivos; no 2º, seno positivo e cosseno negativo; no 3º, ambos negativos; no 4º, seno negativo e cosseno positivo.
Quando o triângulo não é retângulo, entram duas ferramentas. A Lei dos Senos compara lados e senos dos ângulos opostos: a/sen A = b/sen B = c/sen C. A Lei dos Cossenos generaliza Pitágoras: a² = b² + c² - 2bc·cos A.
A relação fundamental vale para qualquer ângulo: sen²θ + cos²θ = 1. Ela é útil para achar seno quando você conhece cosseno, ou o contrário.
Enunciado: Um carro sobe uma rampa de 150m de comprimento que faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Ao chegar no final da rampa, quantos metros elevou-se verticalmente o carro?
Alternativas: A) 92. B) 70. C) 75. D) 60. E) 45.
A rampa é a hipotenusa, com 150 m. A elevação vertical é o cateto oposto ao ângulo de 30°.
sen 30° = cateto oposto / hipotenusa. Como sen 30° = 1/2, temos 1/2 = h / 150.
h = 150 × 1/2 = 75 m.
Não use seno, cosseno ou tangente sem olhar qual lado está sendo pedido. Altura costuma ser cateto oposto; distância no chão costuma ser cateto adjacente; rampa ou escada costuma ser hipotenusa.
Decore os três valores básicos: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 e tg 30° ≈ 0,58. Eles resolvem muita questão de rampa, farol e escada.
Transparência sobre a fonte: as questões abaixo foram extraídas de provas anteriores do banco NavegaGuia, com prova e número indicados. Quando o gabarito oficial não consta no JSON de origem, a resposta é apresentada como resolução comentada da equipe NavegaGuia, não como gabarito oficial da banca.
Revisão de 07/09/2026: há questões trigonométricas no banco, inclusive com as abreviações sen, cos e tg. Foram acrescentados três exercícios inéditos, chegando a 7. A lista de nove candidatas contém cópias, dois itens de conjuntos numéricos e questões com notação incompleta ou figura indispensável ausente. A meta de 12 não foi atingida com fontes verificáveis nesta rodada. Uma figura ausente não impede o uso quando o próprio texto determina os dados necessários, como no exercício 5. Os descartes estão individualizados no relatório da expansão.
Enunciado: Calcule a medida da altura do mastro de uma embarcação, sabendo que sua sombra sobre o tijupá (último convés da embarcação) mede 4 m no momento em que a sombra de um tripulante de 1,75 m mede 2 m.
Alternativas: A) 2,5 m. B) 3,0 m. C) 3,5 m. D) 4,0 m. E) 4,5 m.
Enunciado: De um navio no mar observa-se a luz de um farol segundo um ângulo de 30°. Considerando a altura do farol igual a 87m, a que distância se encontra o navio do farol?
Alternativas: A) 150m. B) 100m. C) 50m. D) 200m. E) 250m. Considere: tg30° = 0,58.
Enunciado: Uma escada de 3 metros está encostada na antepara de um navio, fazendo um ângulo α com o chão. Sabendo que outra escada com 2 metros de comprimento e formando o mesmo ângulo α com o chão tem sua base a 1 metro dessa antepara. Qual a distância entre a base da escada de 3 metros e a antepara do navio?
Alternativas: A) 3,5 metros. B) 3,0 metros. C) 2,5 metros. D) 2,0 metros. E) 1,5 metro.
Enunciado: A localização de um lago, em relação a uma caverna pré-histórica, exigia que se caminhasse 200 m numa certa direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à primeira. A distância em linha reta, da caverna ao lago era, em metros:
Alternativas: A) 500. B) 600. C) 680. D) 520. E) 540.
Enunciado (transcrição literal): Na figura a seguir, no ponto B há uma lancha atracada próximo à praia. Um observador, andando na praia, percorre a distância AC=260m e mede os ângulos BÂC e B ^ C A. Se tg(BÂC)=5/2 e tg(B ^ C A)=3/4, qual é a distância d do barco até a praia?
Leitura reconstruída (NavegaGuia): Na figura a seguir, no ponto B há uma lancha atracada próximo à praia. Um observador, andando na praia, percorre a distância AC = 260 m e mede os ângulos BÂC e BĈA. Se tg(BÂC) = 5/2 e tg(BĈA) = 3/4, qual é a distância d do barco até a praia?
Nota de transparência: a extração desorganizou o acento e as quebras da notação BĈA. A leitura foi recomposta sem mudar os valores; o original e todas as alternativas estão preservados. A imagem não está no JSON, mas os dois ângulos internos têm tangentes positivas, logo são agudos: a perpendicular de B à reta AC encontra o segmento entre A e C. Assim, os dados escritos bastam.
Alternativas: A) 150m B) 140m C) 130m D) 120m E) 110m
Enunciado (transcrição literal): Um um navio, uma escada de acesso orma um riângulo reângulo com o convés (piso) e a anepara (parede) do navio. Se a escada em 5 meros de comprimeno e 4 meros de alura em relação ao convés, qual é a disância da base da escada aé a anepara do navio?
Leitura reconstruída (NavegaGuia): Em um navio, uma escada de acesso forma um triângulo retângulo com o convés (piso) e a antepara (parede) do navio. Se a escada tem 5 metros de comprimento e 4 metros de altura em relação ao convés, qual é a distância da base da escada até a antepara do navio?
Nota de transparência: a fonte estava danificada por OCR. Na leitura, “” foi reconstruído como “f”, “” como “t” e “Um um navio” como “Em um navio”. Nenhum dado numérico foi alterado. As alternativas abaixo mantêm inclusive os caracteres danificados de “metro/metros”; não foram corrigidas silenciosamente.
Alternativas: A) 1,0 mero. B) 1,5 mero. C) 2,0 meros. D) 2,5 meros. E) 3,0 meros.
Enunciado (transcrição literal): Um engenheiro naval precisa projetar uma rampa, para carga e descarga de um navio, que desça 80 cm de altura, com um declive de 16%, o que significa que a inclinação corresponde a -16/100. Qual será o comprimento horizontal da rampa?
Alternativas: A) 1 metro. B) 2 metros. C) 3 metros. D) 4 metros. E) 5 metros.
Trigonometria é leitura de ângulo com lado. Antes de calcular, desenhe mentalmente o triângulo e escolha a razão certa. No próximo capítulo, seguimos para geometria plana e espacial básica.