Equações algébricas, exponenciais, logarítmicas e modulares · Sistemas · Vetores
Ao terminar este capítulo, você vai conseguir resolver equações algébricas mais comuns, lidar com potências, logaritmos e módulos, montar sistemas de equações e interpretar operações básicas com vetores.
Equação algébrica é uma igualdade com incógnita. A ideia é sempre a mesma: fazer operações equivalentes dos dois lados até isolar a incógnita. Quando aparecem raízes, frações ou potências, você precisa respeitar as condições de existência.
Em uma equação com raiz quadrada, por exemplo, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Depois de elevar os dois lados ao quadrado, confira a solução na equação original, porque podem aparecer raízes estranhas.
Equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece no expoente. A estratégia mais comum é escrever os dois lados com a mesma base. Se 2x = 8, escreva 8 como 23; então x = 3.
Logaritmo é o caminho inverso da potência. A frase logab = c significa: a elevado a c é igual a b. Para existir, a base precisa ser positiva e diferente de 1, e o logaritmando precisa ser positivo.
| Propriedade | Leitura |
|---|---|
| loga(mn) = logam + logan | Produto vira soma |
| loga(m/n) = logam - logan | Divisão vira subtração |
| loga(mk) = k logam | Expoente desce multiplicando |
Módulo mede distância até zero. Por isso, |x| = 5 tem duas soluções: x = 5 ou x = -5. Em equações modulares, abra os casos com cuidado.
Se aparecer |x - 3| = 7, leia como: a distância entre x e 3 é 7. Então x - 3 = 7 ou x - 3 = -7. As soluções são x = 10 e x = -4.
Sistema é um conjunto de equações que precisam valer ao mesmo tempo. Você pode resolver por substituição, comparação ou eliminação. Em problema de prova, normalmente a parte difícil é transformar o texto em equações.
| Método | Quando ajuda |
|---|---|
| Substituição | Quando uma variável já está escrita em função da outra |
| Eliminação | Quando somar ou subtrair equações cancela uma variável |
| Teste por alternativas | Quando as opções são numéricas e o enunciado dá soma e produto |
Vetor tem módulo, direção e sentido. Em navegação, deslocamento é ideia vetorial: não basta dizer “andou 10 milhas”; importa para que direção.
Na soma de vetores, você junta deslocamentos. No produto escalar, aparece a relação entre os vetores: u · v = |u||v|cosθ. Se o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Se o valor absoluto do produto escalar é igual ao produto dos módulos, então |cosθ| = 1, e os vetores são paralelos.
Enunciado: O conjunto solução em R da equação √(2x - 1) = √(x + 1) é:
Alternativas: A) {2}. B) {-2,-3}. C) {3}. D) {-2,3}. E) {4}.
Para as raízes existirem, precisamos de 2x - 1 ≥ 0 e x + 1 ≥ 0. Portanto, x ≥ 1/2.
√(2x - 1) = √(x + 1) vira 2x - 1 = x + 1.
2x - x = 1 + 1, então x = 2. Como 2 atende à condição x ≥ 1/2, a solução é válida.
Elevar os dois lados ao quadrado pode criar solução que não servia na equação original. Sempre substitua o valor encontrado na equação inicial, principalmente quando houver raiz ou módulo.
Em sistemas com texto, escolha uma variável para a menor quantidade quando o enunciado diz “o dobro”, “o triplo” ou “mais velho”. Isso costuma deixar as expressões menores e reduz erro de sinal.
Transparência sobre a fonte: as questões abaixo foram extraídas de provas anteriores do banco NavegaGuia, com prova e número indicados. Quando o gabarito oficial não consta no JSON de origem, a resposta é apresentada como resolução comentada da equipe NavegaGuia, não como gabarito oficial da banca.
Conferência de 07/09/2026: as seis candidatas da lista inicial tratam de eletromagnetismo e não fornecem exercícios adequados ao conteúdo deste capítulo. A busca complementar no banco encontrou duas questões inéditas de equações, acrescentadas abaixo. Itens com alternativas vazias ou notação matemática irrecuperável não foram usados; dano de OCR, por si só, não foi motivo de descarte. Nesta rodada, o capítulo passa de 4 para 6 exercícios, sem completar a quantidade com física fora do tema ou questões repetidas.
Enunciado: Três amigos, Franciano, Melo e Ralph, juntos possuem um total de 555 figurinhas. Sabe-se que Franciano possui o triplo de Melo menos 25 figurinhas, e que Melo possui o dobro de Ralph mais 10 figurinhas. Desses amigos, o que possui mais figurinhas têm:
Alternativas: A) 250 figurinhas. B) 365 figurinhas. C) 275 figurinhas. D) 325 figurinhas. E) 300 figurinhas.
Enunciado: Uma das raízes da equação x2 + 3x + c = 0 é também raiz da equação 4x - 12 = 0. Assim, o valor de c é um número:
Alternativas: A) Positivo e menor que 6. B) Positivo e maior que 10. C) Negativo e maior que -15. D) Negativo e menor que -12.
Enunciado: Se for verdadeira a igualdade |u · v| = |u||v|, podemos concluir que os vetores u e v:
Alternativas: A) são ortogonais. B) são ortogonais e de mesmo sentido. C) são paralelos e de sentidos opostos. D) são paralelos, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos. E) não são paralelos, nem ortogonais.
Enunciado: Se você multiplicar um número natural por 5, somar 30, dividir por 2 e calcular a raiz quadrada do resultado, você obterá 5. Qual é o número natural?
Alternativas: A) 4. B) 5. C) 6. D) 9. E) 10.
Enunciado (transcrição literal): Um pai tem hoje 54 anos, e seus quatro filhos têm juntos 39 anos. A idade do pai será igual à soma das idades de seus filhos daqui a:
Alternativas: A) 5 anos. B) 8 anos. C) 12 anos. D) 10 anos. E) 15 anos.
Enunciado (transcrição literal): O quadrado da idade de Danilo menos o quádruplo corresponde a 45 anos. Qual é a idade do Danilo?
Alternativas: A) 5 anos B) 6 anos C) 7 anos D) 9 anos E) 12 anos
Álgebra II fecha o bloco de equações e apresenta vetores. A prova pode variar muito no nível de dificuldade, então a prioridade é dominar o procedimento: condições de existência, isolamento correto, conferência da solução e leitura cuidadosa do texto. No próximo capítulo, entramos em funções e gráficos.