Objetivo do capítulo
Ao terminar este capítulo, você vai conseguir reconhecer produtos notáveis, fatorar expressões simples e resolver equações do 2º grau por fatoração, soma e produto ou fórmula de Bhaskara.
Produtos notáveis: padrões que economizam conta
Produto notável é uma multiplicação algébrica que aparece tantas vezes que vale a pena reconhecer de imediato. Em vez de distribuir tudo sempre, você enxerga o padrão.
| Nome | Forma | Resultado |
|---|
| Quadrado da soma | (a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
| Quadrado da diferença | (a - b)2 | a2 - 2ab + b2 |
| Produto da soma pela diferença | (a + b)(a - b) | a2 - b2 |
O erro clássico é esquecer o termo do meio. (x + 2)2 não é x2 + 4. É x2 + 4x + 4.
Fatoração: fazer o caminho de volta
Fatorar é transformar soma em produto. É o caminho inverso da expansão. Se você reconhece que x2 + 4x + 4 veio de (x + 2)2, consegue simplificar frações algébricas e resolver equações mais rápido.
| Expressão | Fatoração | Por quê? |
|---|
| x2 + 4x + 4 | (x + 2)2 | Quadrado da soma |
| x2 - 9 | (x + 3)(x - 3) | Diferença de quadrados |
| 3x + 6 | 3(x + 2) | Fator comum |
Equação do 2º grau
Equação do 2º grau tem a forma ax2 + bx + c = 0, com a diferente de zero. O número de raízes reais depende do discriminante, chamado de delta:
Δ = b2 - 4ac.
| Delta | Conclusão |
|---|
| Δ > 0 | Duas raízes reais diferentes |
| Δ = 0 | Uma raiz real dupla |
| Δ < 0 | Não há raiz real |
Quando precisar das raízes, use x = (-b ± √Δ) / 2a. Quando o enunciado fala de soma e produto das raízes, use também: soma = -b/a e produto = c/a.
Exemplo resolvido passo a passo
Prova CAAQ-ELT 1 e 2 / CAAQ-CTF 1 2024 (CIABA) — questão 23
Enunciado: A expressão (x2 + 4x + 4) / (x + 2) é igual a:
Alternativas: A) x + 4. B) x+4. C) x+2. D) x +2. E) x+3.
🔹 Passo 1 — Reconheça o produto notável
O numerador x2 + 4x + 4 é o quadrado da soma: (x + 2)2.
🔹 Passo 2 — Reescreva a fração
(x2 + 4x + 4) / (x + 2) = (x + 2)2 / (x + 2).
🔹 Passo 3 — Simplifique
Cancelando um fator (x + 2), sobra x + 2, desde que x seja diferente de -2.
✅ Resposta: alternativa C) x+2. A conta foi conferida contra as alternativas reais da questão. (Gabarito oficial não consta na fonte; a alternativa D aparece como duplicação gráfica de “x + 2” no OCR.)
⚠️ Pegadinha
Ao simplificar uma fração algébrica, você cancela fatores, não pedaços soltos. Em (x + 2)2 / (x + 2), o cancelamento é válido porque há um fator inteiro (x + 2) em cima e embaixo.
🎯 Dica de prova
Se aparecer x2 + 2kx + k2, pense em (x + k)2. Se aparecer x2 - k2, pense em (x + k)(x - k). Esse reconhecimento costuma economizar metade da questão.
Exercícios — questões reais de provas anteriores
Transparência sobre a fonte: as questões abaixo foram extraídas de provas anteriores do banco NavegaGuia, com prova e número indicados. Quando o gabarito oficial não consta no JSON de origem, a resposta é apresentada como resolução comentada da equipe NavegaGuia, não como gabarito oficial da banca.
Todas as alternativas reais verificáveis foram reproduzidas; enunciados com figura ausente ou alternativa incompatível com a conta foram descartados.
Exercício 1
Prova CAAQ-ELT 02/2022 — questão 1
Enunciado: Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes -3 e -2. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é:
Alternativas: A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Use o erro no termo constante
Se o aluno errou só o termo constante, o coeficiente de x estava correto. As raízes -3 e -2 têm soma -5. Como soma = -b/a, então b/a = 5.
🔹 Passo 2 — Use o erro no coeficiente de x
Se o outro aluno errou só o coeficiente de x, o termo constante estava correto. As raízes 1 e 4 têm produto 4. Como produto = c/a, então c/a = 4.
🔹 Passo 3 — Monte a equação correta
Podemos tomar a = 1. A equação correta é x2 + 5x + 4 = 0, cujas raízes são -1 e -4.
🔹 Passo 4 — Calcule a diferença positiva
|-1 - (-4)| = 3.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa C) 3. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 2
Prova CAAQ-ELT 1 e 2 / CAAQ-CTF 1 2024 (CIABA) — questão 22
Enunciado: A tripulação de um navio é de 50 pessoas entre homens e mulheres. Quantas mulheres e quantos homens pertencem a esta tripulação, sabendo que o produto entre o número de homens e mulheres é igual a 621 e que o número de mulheres é menor do que o número de homens?
Alternativas: A) 29 homens e 21 mulheres. B) 35 homens e 15 mulheres. C) 32 homens e 18 mulheres. D) 27 homens e 23 mulheres. E) 69 homens e 9 mulheres.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Monte soma e produto
Homens + mulheres = 50. Homens × mulheres = 621.
🔹 Passo 2 — Teste os pares pelas alternativas
27 + 23 = 50 e 27 × 23 = 621.
🔹 Passo 3 — Confira a condição
O número de mulheres precisa ser menor que o de homens. Então são 27 homens e 23 mulheres.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa D) 27 homens e 23 mulheres. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 3
Prova CFAQ-MOC/MOM/MFC/MFM 1/2024 — questão 24
Enunciado: Qual o valor de k para que a equação 2x2 + 6x + k - 8 = 0 tenha raízes reais e diferentes?
Alternativas: A) k>4. B) k>8. C) k>6,25. D) k<16,5. E) k<12,5.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Use a condição de duas raízes reais diferentes
Equação do 2º grau com duas raízes reais diferentes tem Δ > 0.
🔹 Passo 2 — Identifique a, b e c
a = 2, b = 6 e c = k - 8.
🔹 Passo 3 — Calcule o delta
Δ = 62 - 4 × 2 × (k - 8) = 36 - 8k + 64 = 100 - 8k.
🔹 Passo 4 — Faça Δ maior que zero
100 - 8k > 0. Então 100 > 8k e k < 12,5.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa E) k<12,5. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 4
Prova CFAQ-MOC/MOM/MFC/MFM 1/2024 — questão 37
Enunciado: A multiplicação entre a idade de Kárita e a idade de Karla é igual a 374. Kárita é 5 anos mais velha que Karla. Quantos anos Karla e Kárita possuem respectivamente?
Alternativas: A) 12 e 17 anos. B) 17 e 22 anos. C) 22 e 27 anos. D) 20 e 25 anos. E) 18 e 23 anos.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Chame a idade de Karla de x
Como Kárita é 5 anos mais velha, a idade dela é x + 5.
🔹 Passo 2 — Monte a equação
x(x + 5) = 374, então x2 + 5x - 374 = 0.
🔹 Passo 3 — Teste o par que satisfaz produto e diferença
17 × 22 = 374 e 22 - 17 = 5.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa B) 17 e 22 anos. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 5
Prova CFAQ-MOC 1/2024 — questão 25
Enunciado: Uma das raízes da equação x2 + 3x + c = 0 é também raiz da equação 4x - 12 = 0. Assim, o valor de c é um número:
Alternativas: A) Positivo e menor que 6. B) Positivo e maior que 10. C) Negativo e maior que -15. D) Negativo e menor que -12.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Resolva a equação linear
4x - 12 = 0, então 4x = 12 e x = 3.
🔹 Passo 2 — Use essa raiz na equação do 2º grau
32 + 3 · 3 + c = 0. Logo 9 + 9 + c = 0, então c = -18.
🔹 Passo 3 — Classifique c
-18 é negativo e menor que -12.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa D) Negativo e menor que -12. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 6
Prova CFAQ-MFC/MFM 2/2023 — questão 5
Enunciado: A largura de um terreno retangular é igual a um terço da profundidade. Se o perímetro do terreno é igual a 240 m, qual a área desse terreno?
Alternativas: A) 2.700 m². B) 2.350 m². C) 2.000 m². D) 1.800 m². E) 1.500 m².
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Monte as medidas
Se a profundidade é x, a largura é x/3.
🔹 Passo 2 — Use o perímetro
2(x + x/3) = 240. Então 2 · 4x/3 = 240, logo 8x/3 = 240 e x = 90.
🔹 Passo 3 — Calcule a área
A largura é 90/3 = 30. Área = 90 × 30 = 2.700 m².
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa A) 2.700 m². (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 7
Prova CFAQ-MFC/MFM 2/2023 — questão 10
Enunciado: Se você multiplicar um número racional por 10, somar 6, elevar ao quadrado, dividir por 2, subtrair 1 e calcular a raiz quadrada do resultado, você obterá 7. Qual é o número racional?
Alternativas: A) 5/5. B) 4/5. C) 3/5. D) 2/5. E) 1/5.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Monte a equação
O processo descrito vira √(((10x + 6)2 ÷ 2) - 1) = 7.
🔹 Passo 2 — Desfaça as operações
((10x + 6)2 ÷ 2) - 1 = 49. Então (10x + 6)2 ÷ 2 = 50 e (10x + 6)2 = 100.
🔹 Passo 3 — Use a alternativa positiva
10x + 6 = 10, então 10x = 4 e x = 2/5.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa D) 2/5. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 8
Prova CFAQ-I/C 2019 — questão 11
Enunciado: A área de um retângulo é igual a 27 cm² e seu perímetro é igual a 21 cm. A medida dos seus lados, é respectivamente,
Alternativas: A) 2,5 cm e 3 cm. B) 3,25 cm e 4,25 cm. C) 4,15 cm e 5,1 cm. D) 4,35 cm e 5,44 cm. E) 4,5 cm e 6 cm.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Transforme o perímetro em soma dos lados
2(a + b) = 21, então a + b = 10,5.
🔹 Passo 2 — Use a área
Também sabemos que a · b = 27.
🔹 Passo 3 — Teste o par que satisfaz soma e produto
4,5 + 6 = 10,5 e 4,5 × 6 = 27.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa E) 4,5 cm e 6 cm. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 9
Prova CFAQ-I/C 2019 — questão 19
Enunciado: Se os números reais são tais que 4a + b = 90, então o valor máximo do produto ab é:
Alternativas: A) 703,51. B) 676,33. C) 605,32. D) 548,20. E) 506,25.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Escreva b em função de a
4a + b = 90, então b = 90 - 4a.
🔹 Passo 2 — Monte o produto
ab = a(90 - 4a) = -4a2 + 90a.
🔹 Passo 3 — Ache o vértice da parábola
O máximo ocorre em a = -90/(2 · -4) = 11,25. Então b = 90 - 45 = 45.
🔹 Passo 4 — Calcule o produto máximo
11,25 × 45 = 506,25.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa E) 506,25. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 10
Prova CFAQ-MOC/MOM/MFC/MFM 1/2024 — questão 40
Enunciado: Uma equação foi descrita da seguinte maneira: (k2 - 4)x3 + (k - 2)x2 + 7x - 8 = 0. Analisando os coeficientes, o valor de k que faz com que essa equação seja uma equação do 2º grau é:
Alternativas: A) k = ± 2. B) k = + 2. C) k = - 2. D) k = 0. E) k = 4.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Zere o coeficiente de x³
Para não ser equação do 3º grau, precisamos de k2 - 4 = 0. Então k = ±2.
🔹 Passo 2 — Garanta que x² não suma
O coeficiente de x² é k - 2. Se k = 2, ele zera. Se k = -2, ele fica -4, mantendo a equação do 2º grau.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa C) k = - 2. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 11
Prova CFAQ-MFC/MFM 2/2024 — questão 30
Enunciado: Em um triângulo de 24 cm² de área, a medida da base é o triplo da medida da altura. Quais são as medidas da altura e da base desse triângulo?
Alternativas: A) 1 cm e 3 cm. B) 4 cm e 12 cm. C) 2 cm e 6 cm. D) 5 cm e 15 cm.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Chame a altura de h
Se a base é o triplo da altura, então base = 3h.
🔹 Passo 2 — Use a fórmula da área
Área = base × altura ÷ 2. Então 24 = (3h · h)/2, ou seja, 48 = 3h2.
🔹 Passo 3 — Resolva
h2 = 16, então h = 4. A base é 3 × 4 = 12.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa B) 4 cm e 12 cm. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Exercício 12
Prova CAAQ-CTS 1 / CFAQ-MFM-2 2025 — questão 33
Enunciado: Na praça, há 21 veículos, entre carros e motos, que, no total, possuem 66 rodas. Quantas motos estão estacionadas na praça?
Alternativas: A) 13 motos. B) 12 motos. C) 10 motos. D) 11 motos. E) 9 motos.
Ver resolução comentada (NavegaGuia)
🔹 Passo 1 — Monte o sistema
Se c é o número de carros e m o de motos, então c + m = 21. Pelas rodas: 4c + 2m = 66.
🔹 Passo 2 — Simplifique a equação das rodas
Dividindo por 2: 2c + m = 33.
🔹 Passo 3 — Subtraia as equações
(2c + m) - (c + m) = 33 - 21, então c = 12. Logo m = 21 - 12 = 9.
✅ Resolução NavegaGuia: alternativa E) 9 motos. (Gabarito oficial não consta na fonte.)
Fechamento do capítulo
Álgebra I coloca no lugar os padrões mais cobrados: reconhecer quadrados perfeitos, fatorar e resolver equações do 2º grau. No próximo capítulo, seguimos para equações algébricas, exponenciais, logarítmicas, modulares, sistemas e vetores.