Regra de três simples e composta · Médias aritmética, ponderada e harmônica
Ao terminar este capítulo, você vai conseguir identificar quando duas grandezas crescem juntas ou em sentido contrário, montar regra de três simples e composta e escolher a média correta para problemas de nota, produtividade e velocidade.
Regra de três simples aparece quando o enunciado compara duas grandezas. Pode ser combustível e tempo, tinta e área, velocidade e tempo, quantidade de torneiras e horas para encher um tanque.
A primeira pergunta é: quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta? Se sim, elas são diretamente proporcionais. Se uma aumenta e a outra diminui, elas são inversamente proporcionais.
| Tipo | Como reconhecer | Exemplo |
|---|---|---|
| Direta | Mais de uma grandeza causa mais da outra | Mais horas de bomba ligada despejam mais água |
| Inversa | Mais de uma grandeza causa menos da outra | Mais torneiras reduzem o tempo para encher o tanque |
Em bordo, pense no tanque: se a vazão por segundo é fixa, mais tempo aumenta o volume. Mas, se o trabalho é fixo e você coloca mais bombas iguais operando juntas, o tempo cai.
A regra de três composta entra quando há três ou mais grandezas. A lógica é a mesma, só que você compara cada grandeza com a grandeza que quer descobrir.
Por exemplo: área rebocada depende da quantidade de trabalhadores e das horas por dia. Mais trabalhadores aumentam a produção; mais horas também aumentam a produção. Se uma dessas grandezas cair, a produção cai junto.
| Passo | O que fazer |
|---|---|
| 1 | Defina qual grandeza você quer achar. |
| 2 | Compare cada outra grandeza com ela: direta ou inversa. |
| 3 | Monte a multiplicação respeitando essas relações. |
| 4 | Confira se o resultado faz sentido antes de olhar a alternativa. |
Média aritmética é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Use quando todos têm o mesmo peso: notas de provas iguais, tempos de tarefas equivalentes, leituras feitas nas mesmas condições.
Média ponderada entra quando alguns valores têm peso maior. A fórmula é: multiplique cada valor pelo peso, some tudo e divida pela soma dos pesos.
Média harmônica aparece em situações de taxa, principalmente velocidade média em percursos iguais. Para dois trechos de mesma distância, com velocidades v1 e v2, a média harmônica é 2v1v2 / (v1 + v2).
| Média | Fórmula-base | Uso típico |
|---|---|---|
| Aritmética | (a + b + c) / 3 | Valores com mesmo peso |
| Ponderada | (valor × peso + valor × peso) / soma dos pesos | Notas ou partes com pesos diferentes |
| Harmônica | n / (1/v1 + 1/v2 + ...) | Taxas e velocidades em distâncias iguais |
Enunciado: Para realizar o acabamento de um condomínio fechado, 2 pedreiros foram contratados. Sabendo que eles conseguiram fazer o reboco de 48 m² por dia, trabalhando 6 horas diárias, qual seria a produtividade se fossem contratados mais 4 pedreiros para trabalhar 4 horas por dia?
Alternativas: A) 72 m². B) 80 m². C) 92 m². D) 96 m². E) 100 m².
A produtividade depende de pedreiros e horas trabalhadas. A situação inicial tem 2 pedreiros, 6 horas por dia e 48 m² por dia.
Mais pedreiros aumentam a produtividade: relação direta. Mais horas também aumentam a produtividade: relação direta.
Foram contratados mais 4 pedreiros, então o total passa de 2 para 6 pedreiros. A carga horária passa de 6 para 4 horas. Logo: 48 × (6/2) × (4/6) = 48 × 3 × 2/3 = 96.
Nem toda regra de três é direta. Se 5 torneiras enchem um tanque em 9 horas, 3 torneiras não vão encher em menos tempo. Menos torneiras significam mais tempo: relação inversa.
Antes de fazer conta, escreva uma seta mental: “aumentou uma, a outra aumenta ou diminui?”. Essa decisão vale mais do que decorar fórmula, porque evita inverter fração no lugar errado.
Transparência sobre a fonte: as questões abaixo foram extraídas de provas anteriores do banco NavegaGuia, com prova e número indicados. Quando o gabarito oficial não consta no JSON de origem, a resposta é apresentada como resolução comentada da equipe NavegaGuia, não como gabarito oficial da banca.
Todas as alternativas reais verificáveis foram reproduzidas; questões com figura ausente, alternativas vazias ou resultado fora das alternativas foram descartadas.
Enunciado: Para encher um tanque de água do condomínio, 5 torneiras levam exatamente 9 horas. Supondo-se que a vazão das torneiras seja sempre a mesma, quanto tempo levaria o enchimento do tanque se fossem apenas 3 torneiras?
Alternativas: A) 15 horas. B) 13 horas. C) 12 horas. D) 10 horas. E) 7 horas.
Enunciado: Para viajar de uma cidade para a outra, com velocidade média de 60 km/h, leva-se 2 horas e 30 minutos. Quanto tempo seria gasto para fazer esse mesmo percurso caso a velocidade fosse de 75 km/h?
Alternativas: A) 2 horas e 15 minutos. B) 2 horas. C) 1 hora e 45 minutos. D) 1 hora e 30 minutos. E) 1 hora e 15 minutos.
Enunciado: Uma lata de tinta de 3,6 litros é suficiente para fazer a pintura de uma superfície de 120 m². A quantidade de tinta, em litros, para fazer a pintura de 50 m² é igual a:
Alternativas: A) 2,4. B) 1,5. C) 1,2. D) 0,5.
Enunciado: Alexandre é marinheiro da Marinha Mercante e participou de dois treinamentos de navegação neste bimestre. No primeiro, que tinha um peso de sete pontos, ele obteve 5,6 e no segundo, que tinha um peso de três pontos, ele obteve 2,4. Se esses dois treinamentos tivessem o mesmo peso, de dez pontos cada um, qual seria a nota de Alexandre em cada um dos treinamentos respectivamente?
Alternativas: A) 8,5 e 8,0. B) 7,5 e 8,5. C) 8,0 e 7,5. D) 8,0 e 8,0. E) 8,5 e 7,5.
Enunciado: Um rebocador A está 30.000 metros à frente de um rebocador B que o persegue. Enquanto o rebocador A se desloca 8.000 metros, o rebocador B se desloca 11.000 metros. Qual a distância que o rebocador B terá de percorrer para alcançar o rebocador A?
Alternativas: A) 110.000 m. B) 120.000 m. C) 130.000 m. D) 140.000 m. E) 150.000 m.
Enunciado: Velocidade é distância percorrida por unidade de tempo. Em navegação, a unidade de velocidade comumente utilizada é o nó, que corresponde à velocidade de 1 milha náutica por hora. Com base nessa informação, quantas milhas marítimas um navio com a velocidade média de 15 nós percorre em 3 horas?
Alternativas: A) 45 milhas náuticas. B) 50 milhas náuticas. C) 55 milhas náuticas. D) 60 milhas náuticas. E) 65 milhas náuticas.
Enunciado: Uma certa torneira enche um tanque em 3 horas e uma saída libera todo o líquido em 4 horas. Se, inicialmente, o tanque está vazio e duas torneiras e a saída estão abertas, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
Alternativas: A) 1h e 35min. B) 1h e 56min. C) 2h e 02min. D) 2h e 13min. E) 2h e 24min.
Enunciado: Um amarrador ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ele economizará em um ano se trabalhar, em média, 23 dias por mês?
Alternativas: A) R$ 1230,00. B) R$ 1330,00. C) R$ 1110,00. D) R$ 1440,00. E) R$ 1220,00.
Enunciado: Um engenheiro naval foi contratado para conduzir uma operação de manutenção em um navio. Ele disse ao contratante que sua equipe, composta por 15 operários, faria a manutenção em dez dias. O contratante disse que precisava da manutenção pronta em seis dias. O engenheiro fez os cálculos e verificou que, para cumprir o contrato, precisaria de:
Alternativas: A) 20 operários. B) 21 operários. C) 22 operários. D) 24 operários. E) 25 operários.
Enunciado: Um navio partiu de um porto A e navegou em direção ao porto B seguindo uma derrota (trajetória) de comprimento 200 milhas náuticas a uma velocidade constante de 10 milhas náuticas por hora. Após 16 horas de viagem, qual a distância que o navio ainda precisa percorrer para chegar ao porto B?
Alternativas: A) 60 milhas náuticas. B) 50 milhas náuticas. C) 40 milhas náuticas. D) 30 milhas náuticas. E) 20 milhas náuticas.
Enunciado: Um navio transporta caixas de carga, cada uma pesando 150 kg. Se o peso total da carga é de 18 toneladas, quantas caixas de carga esse navio transporta?
Alternativas: A) 90. B) 100. C) 110. D) 120. E) 130.
Enunciado: Em um trajeto de subidas e descidas, um veículo automotor percorreu 2 m/s, quando estava subindo, e 3 m/s quando estava descendo. Se o veículo percorreu 1.380 metros no tempo de 9 minutos e 40 segundos, sem paradas, entre subidas e descidas, determine o maior percurso.
Alternativas: A) Subiu 40 metros a mais do que desceu. B) Subiu 50 metros a mais do que desceu. C) Subiu 60 metros a mais do que desceu. D) Desceu 35 metros a mais do que subiu. E) Desceu 55 metros a mais do que subiu.
Regra de três e médias dependem menos de decorar e mais de ler a relação entre as grandezas. No próximo capítulo, essa mesma atenção entra em porcentagem, aumentos, descontos e juros, onde a banca costuma esconder o erro em uma palavra pequena: “sobre”.